Qu'est-ce que produit vectoriel ?

Produit Vectoriel (Produit Croix)

Le produit vectoriel, également appelé produit croisé, est une opération mathématique définie entre deux vecteurs dans un espace vectoriel tridimensionnel. Le résultat de cette opération est un vecteur qui est perpendiculaire aux deux vecteurs d'origine.

Définition :

Si a et b sont deux vecteurs en trois dimensions, leur produit vectoriel, noté a × b, est un vecteur c tel que :

• Sa magnitude est égale à l'aire du parallélogramme formé par a et b, soit |a × b| = |a||b|sin(θ), où θ est l'angle entre a et b.
• Sa direction est perpendiculaire au plan contenant a et b, déterminée par la règle de la main droite.

Calcul du Produit Vectoriel :

Si a = (a₁, a₂, a₃) et b = (b₁, b₂, b₃), alors a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁). Ceci peut être calculé formellement à l'aide du déterminant d'une matrice 3x3 :

**a** × **b** =  |  i   j   k  |
               | a₁  a₂  a₃ |
               | b₁  b₂  b₃ |

où i, j, et k sont les vecteurs unitaires le long des axes x, y et z respectivement.

Propriétés du Produit Vectoriel :

• Anti-commutativité: a × b = - (b × a)
• Distributivité: a × (b + c) = a × b + a × c
• Associativité avec la multiplication scalaire: (ka) × b = a × (kb) = k(a × b)
• Produit vectoriel de vecteurs parallèles: Si a et b sont parallèles (θ = 0° ou 180°), alors a × b = 0 (le vecteur nul).
• Auto-produit vectoriel: a × a = 0

Applications du Produit Vectoriel :

• Calcul de l'aire d'un parallélogramme ou d'un triangle: L'aire du parallélogramme formé par a et b est |a × b|, et l'aire du triangle formé par a et b est |a × b| / 2.
• Calcul du moment d'une force: Le moment (ou couple) d'une force F appliquée à une distance r d'un point de pivot est donné par τ = r × F.
• Détermination de la normale à un plan: Si a et b sont deux vecteurs non-colinéaires dans un plan, alors a × b est un vecteur normal (perpendiculaire) à ce plan.
• Informatique graphique et jeux vidéo : Calcul des normales de surfaces pour l'éclairage et l'ombrage, détection de collision, etc.
• Physique : Calcul de la force de Lorentz sur une charge en mouvement dans un champ magnétique.

Liens importants:

• Définition
• Calcul
• Propriétés
• Applications